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Mathématiques

Question

Bonjour, quelqu'un peut-il m'aider à nouveau sur cet exercice car je n'ai pazs vraiment compris les réponses données précédemment.
Merci beaucoup
Devoir à rendre demain classe de 3ème URGENT
Objectif: démontrer l'irrationalité de (racine de 2) par le raisonnement par l'absurde

On pose l'hypothèse que ( racine de 2) soit rationnel
1) justifier que si (racine de 2) est rationnel avec (racine de 2)=p/q où p et q sont des entiers non nuls, alors p²=2q²
2) en déduire que p² est pair
3) démontrer que le carré d'un nombre pair est pair
4) démontrer que le carré d'un nombre impair est impair
5)déduire des questions 3 et 4 que p est pair
6) puisque p est pair alors il existe un entier a tel que p=2a. Démontrer alors que q²=2a
7) en déduire que q est pair
8) pourquoi les réponses aux questions 5 et 7 sont-elles contradictoire avec l'hypothèse de départ
9) conclure

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  • Définition: un nombre rationnel est un nombres qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible ,c'est-à-dire sous la forme a/b , où a et b sont des nombre entiers relatifs  et b ≠ 0.
    1)  si √2 est rationnel alors il existe p et q deux nombres entiers tel que :
      √2=p/q en élevant au carré j'obtiens : (√2)²=(p/q)² et donc : 
    2=p²/q² ce qui veut dire que p²=2q²( pour trouver cette relation j'ai fait le produit en croix ) 
    2) comme p²=2q² on en déduit que p² est pair ( un nombre entier est  pair si est multiple de 2) . 
    3) On remarque que 2 est pair et on fait 2²=4 est encore pair ! 
        pareil pour 4 et 4²=16 
    Démontrons cette remarque
     soit b un nombre entier pair . Montrons que b² est aussi pair . 
    b est pair donc b est multiple de 2 . Donc b=2×k ou k est un nombre entier donc b²=(2×k)²=4×k²=2×2k² donc b² est pair 
    conclusion : si b est un nombre entier pair alors b² l'est aussi !
    4) Un nombre entier est impair si n'est pas divisible par 2 ( s'il n'est pas pair
        
        3 est impair on a 3²=9 est aussi impair . 
       
         5 est impair on a 5²=25 est aussi impair 
    Démontrons ce résultat ! 
    soit C un nombre impair alors C est pas divisible par 2  ! 
    C²=C×C , comme n'est pas divisible par 2 alors C×C aussi donc par suite C² est impair ! 
    5) on sait que p² est pair , d'après la question 3 , on en déduit que p est pair !
    6) puisque p est pair alors il existe un entier a tel que p=2a . 
     comme p²=2q² alors q²=p²/2 or p²=(2a)²=4a² donc q²=4a²/2=2a²
     q²=2a² 
    7) comme q²=2a² alors q est pair 
     8) Les réponses aux questions 5 et 7 montre que p et q sont pairs donc ils sont divisible par 2 . Or par hypothèse la fraction p/q est irreductible ce qui veut dire  p et q n'ont aucun diviseur commun ! on rejette donc  l'hypothèse de départ  
     9) Conclusion : √2 est un nombre irrationnel